Ciascuno di voi ricorda, immagino, i famosi paradossi di Zenone, e così tanti altri. Oggi mi piace analizzare quello di Monty Hall , anche se è più corretto definirlo problema o dilemma.
Ci sono tre porte, dietro ad una delle tre c'è un'automobile, dietro ciascuna delle altre due, una capra (!) Scegliamo una porta, la probabilità di vincere la sospirata auto è ovviamente di 1/3, cioè il 33.3 %. Il conduttore del gioco non ci rivela se abbiamo vinto o meno, apre un'altra porta e compare una capra. A questo punto ci chiede se vogliamo mantenere la nostra scelta, o se preferiamo optare per la terza porta rimasta. Voi cosa fareste ?
Ecco balenare il pensiero errato, che si presenta come " evidente " : una capra è stata eliminata, rimangono due porte, dietro una delle due c'è l'automobile, ho quindi il 50% di probabilità di vincere. Mantenere la scelta iniziale, cioè la porta scelta all'inizio, o cambiare con la rimanente terza porta, è la stessa cosa, visto che le probabilità sono del 50%. Quindi non cambio, oppure concludo che cambiare o non cambiare è indifferente.
Noneeee... se cambiate scelta, la probabilità di vincere sale a ben 2/3 ! Ci sono vari modi di spiegarlo, guardate la figura e seguite il ragionamento.
Ci sono tre porte, dietro ad una delle tre c'è un'automobile, dietro ciascuna delle altre due, una capra (!) Scegliamo una porta, la probabilità di vincere la sospirata auto è ovviamente di 1/3, cioè il 33.3 %. Il conduttore del gioco non ci rivela se abbiamo vinto o meno, apre un'altra porta e compare una capra. A questo punto ci chiede se vogliamo mantenere la nostra scelta, o se preferiamo optare per la terza porta rimasta. Voi cosa fareste ?
Ecco balenare il pensiero errato, che si presenta come " evidente " : una capra è stata eliminata, rimangono due porte, dietro una delle due c'è l'automobile, ho quindi il 50% di probabilità di vincere. Mantenere la scelta iniziale, cioè la porta scelta all'inizio, o cambiare con la rimanente terza porta, è la stessa cosa, visto che le probabilità sono del 50%. Quindi non cambio, oppure concludo che cambiare o non cambiare è indifferente.
Noneeee... se cambiate scelta, la probabilità di vincere sale a ben 2/3 ! Ci sono vari modi di spiegarlo, guardate la figura e seguite il ragionamento.
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Quando scelgo una porta, mettiamo la N°1, ho 1/3 di probabilità di vincere. Se vi fosse data, invece, la possibilità di avere le altre due porte, tutte e due, non cambiereste ? Certamente ! Avendo la N° 2 e la N° 3 avreste 2/3 di probabilità di indovinare dove si trova l'auto.
Ed è quello che il conduttore vi offre ! Vi fa vedere, aprendola, quale delle altre due porte è quella sbagliata, e vi chiede se volete scegliere la rimanente (delle due) o mantenere cocciutamente la scelta iniziale, cioè la porta N° 1.
In sostanza sfruttate ogni volta le rimanenti due porte. Vincerete sempre ? No, vincerete però il 66.6% delle volte, raddoppiando quindi le chances iniziali.
Un altro modo di vedere le cose, appunto, è questo : se cambiate ogni volta scelta, quand'è che perderete ? Perderete solo quando avevate proprio imbroccato l'automobile la prima volta. Ma questo succederà solo in 1/3 dei casi. E se perderete in 1/3 dei casi, vuol dire che, adottando la strategia di cambiare scelta, nel rimanente 2/3 dei casi vincerete !
Una nota importante, il conduttore, che " vede tutto ", si comporta sempre allo stesso modo: se scegliete la porta dove c'è l'automobile, apre, a caso, una delle due altre porte, con dietro la capra. Se scegliete una delle due porte con la capra, apre l'altra. Questa precisazione perchè ci sono varianti del problema, con risultati diversi, date da un differente comportamento del conduttore.
Un ultimo modo di spiegarlo... mettiamo che le porte siano addirittura 1000 ! Fai la tua scelta, ed il conduttore apre, una alla volta, 998 porte con dietro una capra. Ne rimangono due: la tua ed un'altra. Se non cambi scelta a questo punto, sei così presuntuoso da sperare di aver imbroccato l'auto in 1/1000 casi. Se invece, saggiamente, cambi scelta all'ultimo, vincerai 999 volte su 1000
Ci sono dilemmi simili al Monty Hall... il paradosso delle tre carte. Ci sono tre carte, una ha entrambe le facce rosse, una entrambe bianche ed una ha una faccia rossa e l'altra bianca.
Ed è quello che il conduttore vi offre ! Vi fa vedere, aprendola, quale delle altre due porte è quella sbagliata, e vi chiede se volete scegliere la rimanente (delle due) o mantenere cocciutamente la scelta iniziale, cioè la porta N° 1.
In sostanza sfruttate ogni volta le rimanenti due porte. Vincerete sempre ? No, vincerete però il 66.6% delle volte, raddoppiando quindi le chances iniziali.
Un altro modo di vedere le cose, appunto, è questo : se cambiate ogni volta scelta, quand'è che perderete ? Perderete solo quando avevate proprio imbroccato l'automobile la prima volta. Ma questo succederà solo in 1/3 dei casi. E se perderete in 1/3 dei casi, vuol dire che, adottando la strategia di cambiare scelta, nel rimanente 2/3 dei casi vincerete !
Una nota importante, il conduttore, che " vede tutto ", si comporta sempre allo stesso modo: se scegliete la porta dove c'è l'automobile, apre, a caso, una delle due altre porte, con dietro la capra. Se scegliete una delle due porte con la capra, apre l'altra. Questa precisazione perchè ci sono varianti del problema, con risultati diversi, date da un differente comportamento del conduttore.
Un ultimo modo di spiegarlo... mettiamo che le porte siano addirittura 1000 ! Fai la tua scelta, ed il conduttore apre, una alla volta, 998 porte con dietro una capra. Ne rimangono due: la tua ed un'altra. Se non cambi scelta a questo punto, sei così presuntuoso da sperare di aver imbroccato l'auto in 1/1000 casi. Se invece, saggiamente, cambi scelta all'ultimo, vincerai 999 volte su 1000
Ci sono dilemmi simili al Monty Hall... il paradosso delle tre carte. Ci sono tre carte, una ha entrambe le facce rosse, una entrambe bianche ed una ha una faccia rossa e l'altra bianca.
Pescate una carta a caso, senza guardare le altre, e la deponete sul tavolo. La faccia superiore, quella che vedete, è rossa. Cosa deducete sull'altra faccia, quella nascosta ? E' più probabile che sia bianca, o rossa, o le probabiltà sono le stesse ? La risposta è... 2/3 che sia ROSSA !
Avendo la faccia superiore rossa, ovviamente eliminate la carta con entrambe le facce bianche.
" Sembrerebbe ", stesso ragionamento errato che con le capre, che le due rimanenti carte, quella con entrambe le facce rosse e quella con una faccia rossa e l'altra bianca, abbiano la stessa probabilità di essere state pescate, e che quindi non si possa pronosticare con più del 50% di probabilità , se ci troviamo di fronte alla carta " doppia rossa " o a quella " mezzo rossa ".
Avendo la faccia superiore rossa, ovviamente eliminate la carta con entrambe le facce bianche.
" Sembrerebbe ", stesso ragionamento errato che con le capre, che le due rimanenti carte, quella con entrambe le facce rosse e quella con una faccia rossa e l'altra bianca, abbiano la stessa probabilità di essere state pescate, e che quindi non si possa pronosticare con più del 50% di probabilità , se ci troviamo di fronte alla carta " doppia rossa " o a quella " mezzo rossa ".
Nella prima la faccia nascosta sarebbe rossa, nella seconda bianca.
Invece... la doppia bianca l'abbiamo eliminata, OK. Vedo una carta rossa: potrebbe essere 1) la mezzo rossa, 2) una faccia della doppia rossa, 3) oppure l'altra faccia, sempre della doppia rossa. I casi possibili, in cui sarebbe comparsa sul tavolo una faccia rossa sono tre e non due ! E dei tre casi possibili, due implicano la doppia rossa e solo uno la mezzo rossa. Quindi le probabilità che la faccia nascosta sia rossa sono 2/3 e non 1/2.
Del tutto simile il paradosso delle tre scatole.
Ci sono tre scatole, di cui la prima contiene due monete d'oro, la seconda due monete d'argento e la terza una d'oro ed una d'argento: se estraendo una moneta a caso, da una scatola a caso, ci si ritrova in mano una moneta d'oro, qual è la probabilità che anche l'altra nella scatola lo sia? La soluzione è anche in questo caso 2/3.
Sono sicuro che avete capito tutto... allora vi propongo una variante del Monty Hall, quella a due giocatori. Due giocatori scelgono una porta, non la stessa. Il conduttore apre la porta di uno dei due e ... dietro c'è la capra. Peccato... è stato sfortunato... adesso il sadico conduttore chiede all'altro giocatore se vuole cambiare scelta. Cosa dovrebbe fare ?
Non cambiare ! Ma come, prima convenina cambiare, e adesso no ? Già, perchè il giocatore superstite, mantenendo la scelta originale, perderebbe solo nel caso che entrambi i giocatori avessero scelto la porta sbagliata: quella con la capra, e questo capiterebbe in solo 1/3 dei casi. Quindi non cambiando scelta, vincerebbe nel rimanente dei casi, cioè 2/3 !
Anche qui, il conduttore elimina uno dei giocatori che ha scelto la capra, prima di proporre all'altro di cambiare scelta. Se entrambi scelgono la capra, ne sceglie, e quindi ne elimina, uno a caso.
Invece... la doppia bianca l'abbiamo eliminata, OK. Vedo una carta rossa: potrebbe essere 1) la mezzo rossa, 2) una faccia della doppia rossa, 3) oppure l'altra faccia, sempre della doppia rossa. I casi possibili, in cui sarebbe comparsa sul tavolo una faccia rossa sono tre e non due ! E dei tre casi possibili, due implicano la doppia rossa e solo uno la mezzo rossa. Quindi le probabilità che la faccia nascosta sia rossa sono 2/3 e non 1/2.
Del tutto simile il paradosso delle tre scatole.
Ci sono tre scatole, di cui la prima contiene due monete d'oro, la seconda due monete d'argento e la terza una d'oro ed una d'argento: se estraendo una moneta a caso, da una scatola a caso, ci si ritrova in mano una moneta d'oro, qual è la probabilità che anche l'altra nella scatola lo sia? La soluzione è anche in questo caso 2/3.
Sono sicuro che avete capito tutto... allora vi propongo una variante del Monty Hall, quella a due giocatori. Due giocatori scelgono una porta, non la stessa. Il conduttore apre la porta di uno dei due e ... dietro c'è la capra. Peccato... è stato sfortunato... adesso il sadico conduttore chiede all'altro giocatore se vuole cambiare scelta. Cosa dovrebbe fare ?
Non cambiare ! Ma come, prima convenina cambiare, e adesso no ? Già, perchè il giocatore superstite, mantenendo la scelta originale, perderebbe solo nel caso che entrambi i giocatori avessero scelto la porta sbagliata: quella con la capra, e questo capiterebbe in solo 1/3 dei casi. Quindi non cambiando scelta, vincerebbe nel rimanente dei casi, cioè 2/3 !
Anche qui, il conduttore elimina uno dei giocatori che ha scelto la capra, prima di proporre all'altro di cambiare scelta. Se entrambi scelgono la capra, ne sceglie, e quindi ne elimina, uno a caso.
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